函数图像

编辑:大豆网互动百科 时间:2019-12-07 02:01:59
编辑 锁定
同义词 函数图象一般指函数图像
在数学中,函数 f图形(或图象)指的是所有有序对x, f(x))组成的集合[1]。具体而言,如果x实数,则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2),则图形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))组成的集合,呈现为曲面(参见三维计算机图形)。
中文名
函数图象
外文名
Functions images
图象性质
满足等式:y=kx+b
应    用
水量g是抽水时间t的一次函数

函数图像几何与方程论

编辑
Functions images(函数的图象)
点集{(x,y)丨y=x}
一次函数图像 一次函数图像
叫做函数y=x的图象
一次函数
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
则称y是x的一次函数
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数
若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

函数图像图象性质

1. 作法与图形:通过如下3个步骤(1)算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图象——一条直线。
2. 性质:在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
3. k,b与函数图象所在象限。
当k>0时,直线必通过一、三象限,从左往右,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,从左往右,y随x的增大而减小;
当b>0时,直线必通过一、二象限;当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四 象限。
4. (1) 函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。
反比例函数图像 反比例函数图像
求用解析式表示的函数的定义域,就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集,对实际问题中函数关系定义域,还需要考虑实际问题的条件。 (2)值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合,叫做函数的值域。(3)单调性定义:对于给定区间上的函数f(x)。

函数图像例题

已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。如果b=0,则函数解析式为y=kx,所以说正比例函数是特殊的一次函数。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程: y1=kx1+b① 和y2=kx2+b②。 (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 (5)在y=kx+b中,使x,y分别等于0,可求出两个坐标系必定经过的两点(0,b)和(-b/k,0)。

函数图像应用

编辑
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

函数图像分类

编辑

函数图像反比例函数

形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的图象为双曲线。
如图,上面给出了x分别为正和负(2和-2), k=4 时的函数图象。

函数图像双钩函数

函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数
双钩函数图像 双钩函数图像
该函数是奇函数,图象关于原点对称。位于第一、三象限
当x>0时,由基本不等式可得:y ≥2√ab
当且仅当ax=b/x,即x=√(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(√(b/a),2√ab),图象在(0,√(b/a))上是单调递减的,在(√(b/a),+∝)上是单调递增
同理:当x<0时,由基本不等式可得:y≤-2√ab
当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(-√(b/a),-2√ab),
图象在(-∝,-√(b/a))上是单调递增,
在(-√(b/a),0)上是单调递减的。
当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况
通常,作图时,x看做0。代入得y,也就是纵轴坐标(0,y)
有时,通过平移,把形如y=(ax+b)/(cx+d)也看成反比例函数。
特殊位置关系
平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)

函数图像二次函数

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
二次函数图像 二次函数图像
y=ax^2+bx+c
  
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
  则称y为x的二次函数。
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
  顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
  交点式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的抛物线]
  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
  h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象,
  可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。
性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
  2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
  |a|越大,则抛物线的开口越小。
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
  抛物线与y轴交于(0,c)
  6.抛物线与x轴交点个数
  Δ= b方-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
  Δ= b方-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
  Δ= b方-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
位置关系
二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
  解析式 顶点坐标 对 称 轴
  y=ax^2 (0,0) x=0
  y=a(x-h)^2 (h,0) x=h
  y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
  y=ax^2+bx+c (-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
  当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
  当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
  当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
  当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
  当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
  当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
  因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
  2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
  3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.
  4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
  (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
  (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
  (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
  当△=0.图象与x轴只有一个交点;
  当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
  5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
  顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
词条图册 更多图册
词条标签:
理学